Incertitude radicale : hommage à Poincaré

NB: ce texte a été publié originellement le 17 juillet 2012 sur le site du Voir.

 

Supposons que vous désiriez calculer la vitesse d’une boule de pétanque atterrissant sur votre terrain préféré. Votre vieux manuel de physique de secondaire 4 vous fournira l’équation idoine à cette fin, si vous êtes en mesure d’évaluer la masse de la boule, l’énergie cinétique que le travail de votre bras lui aura imprégné et autres petites variables du même acabit.

L’ensemble de ces informations, les « conditions initiales, » sont mesurables et les lois élémentaires de la physique nécessaires à ce calcul, connues depuis Newton. Le résultat ne pose donc aucun problème : nous pouvons calculer avec précision et certitude la vitesse de notre boule de pétanque.

Sauf que pas vraiment.

Il y a plus de cent ans, un grand mathématicien et physicien français, Henri Poincaré, a produit une réflexion à ce sujet qui a fortement marqué le développement des mathématiques pures et appliquées de la deuxième moitié du 20e siècle.

Poincaré est décédé il y a 100 ans aujourd’hui. Il a été l’un des mathématiciens et des physiciens les plus importants du siècle dernier et ses travaux ont, notamment, donné naissance à ce qui fut appelé, dans les ouvrages grand public, la « théorie du chaos. »

Simplifions à outrance : si en théorie nous pouvons calculer la vitesse et la trajectoire de notre boule de pétanque à partir d’une mesure adéquate des conditions initiales, en pratique cela sera souvent impossible.

Poincaré a mis à jour ce qu’on appelle maintenant le principe de « sensibilité aux conditions initiales. » Ce concept stipule tout simplement que même un système parfaitement déterministe (dont le comportement n’est pas soumis au hasard) peut suivre une trajectoire qui varie énormément en fonction de toutes petites variations dans les conditions initiales. On a illustré ce phénomène par l’analogie de « l’effet papillon »: le battement d’aile d’un papillon à l’autre bout du monde peut, par un espèce de principe de boule de neige, causer une tempête formidable chez nous. Quelques grains de sable de trop au sol, un imperceptible geste de notre index sur la boule de pétanque et voilà les conditions initiales modifiées.

Poincaré écrivait, en 1908 :

Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est que tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. [1]

Plus un phénomène est complexe, c’est-à-dire plus il intègre de nombreux éléments interagissant entre eux, plus cette sensibilité aux conditions initiales sera grande – et cela sera d’autant plus le cas si le système évolue sur une période de plus en plus longue. Une infime variation dans le comportement d’un des éléments du système entrainera une modification radicale de l’état général du système à l’arrivée.

Les implications philosophiques et scientifiques de ce principe sont bien entendu extraordinaires. En simplifiant, on pourrait dire que cette notion toute simple anéantit complètement notre capacité à prévoir l’évolution de tout système relativement complexe.

L’originalité de l’apport de Poincaré tient au fait qu’il ne considérait pas cette incapacité comme un problème pratique, mais théorique. En effet, les mesures finies seront toujours imparfaites, alors que le monde que nous observons nécessiterait des mesures infinies pour en prévoir l’évolution.

Mais les héritiers de Poincaré ont découvert une réalité encore plus frappante : certains systèmes parfaitement fermés et déterministes (sous forme d’équations très simples) peuvent se comporter de manière totalement chaotique en modifiant très légèrement leurs conditions initiales. Ça n’est même plus la qualité des instruments de mesure qui nous empêche de prédire l’évolution d’un système: certains d’entre eux sont de nature totalement imprédictible, en théorie comme en pratique, en somme.

Si cela est vrai d’un système physique simple, ça l’est a fortiori d’un ensemble aussi complexe qu’une société. De nombreuses recherches s’appuient sur ces principes pour tenter de mieux en comprendre l’évolution. Pour comprendre, notamment, comment l’ordre émerge d’un système par définition chaotique.

Mais au-delà de ces recherches empiriques, de plus en plus développées grâce à la puissance informatique, l’héritage de Poincaré demeure une fabuleuse source d’inspiration pour penser l’économie de notre monde complexe.

Nos sociétés sont déterminées par leur passé. Poincaré ne remettait aucunement en question le déterminisme global de ses prédécesseurs (Laplace, plus particulièrement): l’état actuel de l’univers (i.e. de tout ce qui existe) est déterminé par son état passé. Cependant, ce déterminisme ne s’applique pas localement: un système économique donné, par exemple, a beau être totalement déterminé par son passé, l’univers des possibles devant lui est incroyablement vaste et varié, puisqu’il est « sensible aux conditions initiales. »

Cent ans plus tard, la lecture des œuvres de Poincaré (qui fut un vulgarisateur hors pair) demeure encore aujourd’hui d’une fécondité exceptionnelle pour réfléchir sur la complexité de notre monde.

(Un site fort bien fait est consacré à Poincaré: poincare.fr.)

 

[1] Henri Poincaré (1908), Science et méthode, Paris, Ernest Flammarion, 1922, p. 68-9.

Laisser un commentaire